데이터사이언스 수학과 통계 - 행렬과 행렬연산

코사인유사도에서 놈의 개념이 들어가는 이유

벡터 a 와 벡터 b의 내적은 -> a를 b로 정사영 내린 벡터를 구한다. 그 벡터를 p라고 할때 

||p|| = ||a||cos세타가 된다.

 

* REF - 기약행사다리꼴

* 가우스 요르단 소거법에 대해 복습해보기

* RREF - 유일하다

https://www.youtube.com/watch?v=0dq1pYxwn1A

선형연립방적식을 이루는 모든 선형방정식들이 모두 동차면 - homogeheous 라고 함

* 이 연립방정식은 1개의 해를 가지는데 -> 자명해 라고 함

 

* 행렬 - Matrix / 행렬은 집합으로도 표현이 가능하다

* 행렬이 같으려면 , 사이즈(=차원)도 같고 element의 위치도 같아야 한다

* 행렬과 스칼라의 곱은 모든 원소에 스칼라배한 것과 같다

* 행렬을 배우는 이유 중 하나 - 대수학에서 목적은 '해'를 찾기 위함인데

  - 많은 연립방정식을 해결할 때 "행렬"을 활용한다.

  - 계수들로 구성된 매트릭스, 변수들로 구성된 매트릭스 , 결과로 이루어진 매트릭스

* 행렬의 곱이 의미하는 바 - 앞 행렬의 행벡터와, 뒷 행렬의 열 벡터의 곱의 합 -> 내적?

* 입력과 출력이 벡터인 함수는 변환 -> transformation

* 행렬의 transformation -> 함수를 만드는 것

* 행렬의 transpose -> 전치 / 행과 열을 바꾸는 것 / 내적을 표현할 수 있다

* A가 square일때 대각합은 tr(A)라고 표현한다

* 전치의 특성 

* R이 n*n , R의 기약사다리꼴이라면 R은 zero행을 갖거나 R은 단위행렬이다.

* 행렬은 교환법칙이 불가능하지만 교환법칙이 성립하며, 곱한 결과가 단위행렬인 경우 서로 역행렬 관계이다.

* 역행렬을 구하는 이유 - 해를 구하기 위해

* 같은사이즈 A와 B가 역행렬이 각각 있다면(가역이면) , AB역시 가역이다.

 

*기본행 연산을 항등행렬에 적용하여 얻은 행렬을 기본행렬이라 한다 -> E

https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B8%B0%EB%B3%B8%ED%96%89%EB%A0%AC

기본행렬 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전

A에 기본행연산을 적용해 B를 얻었다면 두 행렬은 row equivalent 라고 함 

EA = B라면 A~B

 

https://www.youtube.com/watch?v=jUEgVh3kOWw

 

3x3의 역행렬을 구한다면 -> row equivalent 를 활용하면된다

*동차선형연립방정식에서 유일한 자명해를 가지려면 A가 가역이여야함

  -> 동차선형연립방정식은 무수한해 or 1개의 자명해

 

* A가 nxn 이면

1. A의 기약행사다리꼴은 In이다 = 해는 유일하다

2. Ax= 0 는 자명해를 가진다

3. Ax=b는 모든 벡터 b에 대해 유일한 해를 가진다

 

https://www.youtube.com/watch?v=Q1zCibRtI2A

 

https://www.youtube.com/watch?v=L9gOujaGv4Q

 

 

*span https://www.youtube.com/watch?v=g0eaDeVRdZk

 

*선형독립 - 선형결합

* standard unit vector 의 span은 벡터의 개수 차원

* 벡터 1개의 span -> 원점을 지나는 직선

* 벡터 2개의 span -> 원점을 지나는 평면

 

Ax= 0가 n개의 미지수를 갖는 동차 선형 연립방정식이면 해집합은 n차원의 부분집합이다

 

* 선형종속 <-> w와 u로 v를 만들 수 있다. 해가 무수히 많다 / v는 u와w의  span에 종속된다

* 선형독립 <-> w와 u로 v를 만들 수 없다. 해가 한개다 / v는 u와w의 span에 종속되지 않는다.

 

* v1, v2..... vn 이 선형 종속이라는 말은 --> 적어도 한 벡터는 선형결합으로 다른 벡터를 표현할 수 있다.

*선형 독립일때만 역행렬을 가진다. <-> Ax= 0 가 자명해를 가진다 / 열벡터들이 선형독립이다

 

*행렬의 determinants -> det(A), |A|

* 정사각행렬 A 가 zero행이나 열이 있으면 det(A)= 0

* A가 삼각행렬이면 det(A) = 대각성분의 곱이다

* det(A)와 det(A의 transpose)와 같다

* A 행 또는 열벡터에 선형종속이 있다면 det(A) = 0

* det(A) = 0 이라면 역행렬이 존재하지 않고, 해가 존재하지 않는다는 위 전제와 동일한말이 됨